جواب کاردرکلاس صفحه 96 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 96 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین مهارت شما را در استفاده از **قواعد مشتق‌گیری توابع مثلثاتی** (حاصل ضرب و خارج قسمت) تقویت می‌کند. یادتان باشد که $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ و $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ و $\frac{d}{dx}(\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$. 📐 --- ## الف) $f(x) = \sin x \tan x$ از **قاعده حاصل ضرب** استفاده می‌کنیم: $$(uv)' = u'v + uv'$$ در اینجا، $u = \sin x$ و $v = \tan x$. ### گام 1: محاسبه مشتق اجزا $$u' = \cos x$$ $$v' = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$ ### گام 2: اعمال قاعده حاصل ضرب $$f'(x) = (\cos x)(\tan x) + (\sin x)(\sec^2 x)$$ ### گام 3: ساده‌سازی عبارت $$\text{جمله اول: } \cos x \tan x = \cos x \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \sin x$$ $$\text{جمله دوم: } \sin x \sec^2 x = \sin x \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$ $$f'(x) = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$ $$\mathbf{f'(x) = \sin x (1 + \frac{1}{\cos^2 x}) \quad \text{یا} \quad f'(x) = \sin x (1 + \sec^2 x)}$$ --- ## ب) $g(x) = \frac{5\cos x}{1 - \sin x}$ از **قاعده خارج قسمت** استفاده می‌کنیم: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ در اینجا، $u = 5\cos x$ و $v = 1 - \sin x$. ### گام 1: محاسبه مشتق صورت و مخرج $$u' = 5(-\sin x) = -5\sin x$$ $$v' = 0 - \cos x = -\cos x$$ ### گام 2: اعمال قاعده خارج قسمت $$g'(x) = \frac{(-5\sin x)(1 - \sin x) - (5\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$$ ### گام 3: ساده‌سازی صورت $$g'(x) = \frac{-5\sin x + 5\sin^2 x + 5\cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}$$ از اتحاد $\mathbf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$ برای ساده کردن استفاده می‌کنیم: $$5\sin^2 x + 5\cos^2 x = 5(\sin^2 x + \cos^2 x) = 5(1) = 5$$ $$\text{صورت: } -5\sin x + 5$$ ### گام 4: ساده‌سازی نهایی $$g'(x) = \frac{5 - 5\sin x}{(1 - \sin x)^2} = \frac{5(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)^2}$$ با حذف عامل مشترک $(1 - \sin x)$ از صورت و مخرج (به شرط $1 - \sin x \neq 0$): $$\mathbf{g'(x) = \frac{5}{1 - \sin x}}$$